Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(1，

2

2

)，离心率为

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂．点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）证明：

1

k1

-

3

k2

=2；
（Ⅱ）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(1，

2

2

)，离心率为

2

2

，
所以

1 a2 + 1 2b2 =1 a2-b2 a2 = 1 2

，所以a²=2，b²=1，
所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1，F₁（-1，0）、F₂（1，0）
设P（x₀，2-x₀），则

1

k1

=

x0+1

2-x0

，

1

k2

=

x0-1

2-x0

，
所以

1

k1

-

3

k2

=

x0+1

2-x0

-

3x0-3

2-x0

=

-2x0+4

2-x0

=2…（2分）
（Ⅱ）记A、B、C、D坐标分别为（x₁，y₁）、（x₁，y₁）、（x₁，y₁）、（x₁，y₁）．
设直线PF₁：x=m₁y-1，PF₂：x=m₂y+1
联立

x=m1y-1 x2 2 +y2=1

可得(m12+2)y2-2m1y-1=0…（4分）kOA+kOB=

y1

x1

+

y2

x2

=

y1

m1y1-1

+

y2

m1y2-1

=

mly1y2-y1+m1y1y2-y2

(m1y1-1)(m1y2-1)

=

2m1y1y2-(y1+y2)

m12y1y2-m1(y1+y2)+1

，
代入y1y2=

-1

m12+2

，y1+y2=

2m1

m12+2

可得kOA+kOB=

2m1

1-m12

…（6分）
同理，联立PF₂和椭圆方程，可得kOC+kOD=

2m2

1-m22

…（7分）
由

2m1

1-m12

+

2m2

1-m22

=0及m₁-3m₂=2（由（Ⅰ）得）可解得

m1= 1 2 m2=- 1 2

，或

m1=3 m2= 1 3

，
所以直线方程为

x= 1 2 y-1 x=- 1 2 y-1

或

x=3y-1 x= 1 3 y+1

，
所以点P的坐标为（0，2）或(

5

4

，

3

4

)…（10分）