Question

7．已知函数f（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$），（a＞1，x≥1）
（1）求它的反函数f^-1（x），并指出它的定义域；
（2）由f^-1（n）＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$（n∈N^*），求a的取值范围；
（3）设b_n=f^-1（n），设S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：当a在（2）的范围内对任意自然数n都有S_n＜2ⁿ$-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$．

Answer 1

分析 （1）令y=f（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$），利用对数式与指数式之间的转化关系，可得反函数f^-1（x），求出原函数的值域，可得反定义域；
（2）f^-1（n）＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$可化为：$\frac{{a}^{2n}+1}{2{a}^{n}}$=$\frac{{a}^{n}+{a}^{-n}}{2}$＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$（n∈N^*），结合指数函数的图象和性质，分类讨论可得满足条件的a的取值范围；
（3）先用数学归纳法证明出：$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹＞${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{n}$．再结合（2）的结论，利用放缩法和等比数列前n项和公式，证得结论．

解答 解：（1）令y=f（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$），
则x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=a^y，
即$\sqrt{{x}^{2}-1}$=a^y-x，
即x=$\frac{{a}^{2y}+1}{2{a}^{y}}$，
即f^-1（x）=$\frac{{a}^{2x}+1}{2{a}^{x}}$，
∵a＞1，x≥1，
∴x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$≥1，
∴log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$）≥0，
∴原函数f（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$）的值域为[0，+∞），
∴反函数f^-1（x）的定义域为[0，+∞），
（2）f^-1（n）＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$可化为：$\frac{{a}^{2n}+1}{2{a}^{n}}$=$\frac{{a}^{n}+{a}^{-n}}{2}$＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$（n∈N^*），
即aⁿ+a^-n＜2ⁿ+2^-n，即$（{a}^{n}-{2}^{n}）[1-\frac{1}{（2a）^{n}}]$＜0，
当1＜a＜2时，aⁿ-2ⁿ＜0，$1-\frac{1}{{（2a）}^{n}}＞0$恒成立，满足条件；
当a=2时，$（{a}^{n}-{2}^{n}）[1-\frac{1}{（2a）^{n}}]$=0恒成立，不满足条件；
当a＞2时，aⁿ-2ⁿ＞0，$1-\frac{1}{{（2a）}^{n}}＞0$恒成立，不满足条件；
综上所述，1＜a＜2，
证明：（3）当n=1时，$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{3}{4}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设n=k时，$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）^k+1＞${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{k}$．
则n=k+1时，$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）^k+2=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）^k+1]+$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{2}$•${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{k}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{k+1}$+$\frac{1}{4}$＞${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{k+1}$
即$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹＞${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{n}$．
又∵b_n=f^-1（n）=$\frac{{a}^{n}+{a}^{-n}}{2}$，
则由（2）得：b_n＜$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$（n∈N^*），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{{2}^{1}+{2}^{-1}}{2}$+$\frac{{2}^{2}+{2}^{-2}}{2}$+…+$\frac{{2}^{n}+{2}^{-n}}{2}$
=（1+2+…+2^n-1）+[$\frac{1}{2}$²+$\frac{1}{2}$³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹]
=2ⁿ-1+$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=2ⁿ-$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹＜2ⁿ$-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$．

点评 本题考查的知识点是数学归纳法，不等式的证明，指数函数和对数函数的图象和性质，等比数列求和，综合性强，难度较大．