Question

【题目】在多面体中，四边形与均为正方形， 平面， 平面，且.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直判定定理由线线垂直得线面垂直： 平面，即得平面， .再根据勾股定理计算可得，最后根据线面垂直判定定理得平面；（2）利用空间向量求二面角大小：先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面法向量，利用向量数量积求出两法向量夹角，最后根据法向量夹角与二面角关系得结论

试题解析：解：(1)证明：由题意可得， ，

∴平面，

∵，

∴平面，

而平面，

∴.

如图，连接，

∵平面， 平面，

∴，∴四边形为直角梯形，

设，则依题意， ，

∴，

，

，

∴.

∴，又， ，

∴平面；

(2)解：由(1)知两两垂直，

以分别为轴建立空间直角坐标系，设，

则， ， ， ， ，

∴， ，

设是平面的一个法向量，

则，∴，取，得.

又是平面的一个法向量，

∴，

∴二面角的余弦值为.