【题目】已知各项均为整数的数列{an}满足an2≤1,1≤a12+a22+…+an2≤m,m,n∈N* .
(1)若m=1,n=2,写出所有满足条件的数列{an};
(2)设满足条件的{an}的个数为f(n,m).
①求f(2,2)和f(2016,2016);
②若f(m+1,m)>2016,试求m的最小值.
【答案】
(1)解:当m=1,n=2时,1≤ ≤1,又 ≤1
∴{an}为0,1或0,﹣1或1,0或﹣1,0
(2)解:①当m=n=2时,1≤ ≤2,a1、a2取值共有:32﹣1=8种,
即f(2,2)=8,
又当m=n=2016时,1≤ ≤2016,a1、a2、a2016取值共有:32016﹣1种;
即f(2016,2016)=32016﹣1f(m+1,m)>2016即1≤ ≤m
②数列{an}需满足不能全为0,不能没有0(即每项均为1或﹣1),
∴f(m+1,m)=3m+1﹣1﹣2m+1,
即考虑3m+1﹣2m+1﹣1>2016,
令g(m)=3m+1﹣2m+1,
则g(m+1)﹣g(m)=2×3m+1﹣2m+1>0
∴g(m)单调增
又g(6)=2059成立,
∴m最小值为6
【解析】(1)若m=1,n=2,1≤ ≤1,又 ≤1,即可求得所有满足条件的数列{an};(2)①)当m=n=2时,1≤ ≤2,由a1、a2可能取值为0,1,﹣1,则a1、a2取值共有:32﹣1=8种,当m=n=2016时,1≤ ≤2016,a1、a2、a2016可能取值为0,1,﹣1,共有:32016﹣1种;②由f(m+1,m)=3m+1﹣1﹣2m+1 , 将原式转换为3m+1﹣2m+1>2017,构造辅助函数g(m)=3m+1﹣2m+1 , 做差g(m+1)﹣g(m)=2×3m+1﹣2m+1>0,g(x)单调递增,又g(6)=2059成立,即可求得m的最小值.
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【题目】观察下列等式
l+2+3+…+n= n(n+l);
l+3+6+…+ n(n+1)= n(n+1)(n+2);
1+4+10+… n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3);
可以推测,1+5+15+…+ n(n+1)(n+2)(n+3)= .
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【题目】已知a>0且a≠1,函数 ,
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移两个单位后得到函数y=g(x)的图象,若实数x满足g(x)≥0,求x的取值范围.
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【题目】设, .
(1)若,求的单调区间;
(2)讨论在区间上的极值点个数;
(3)是否存在,使得在区间上与轴相切?若存在,求出所有的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC= ,AB=1,BD=PA=2,M 为PD的中点.
(1)求异面直线BD与PC所成角的余弦值;
(2)求二面角A﹣MC﹣D的平面角的余弦值.
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【题目】为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
男 | 女 | 总计 | |
需要帮助 | 40 | m | 70 |
不需要帮助 | n | 270 | s |
总计 | 200 | t | 500 |
(1)求m,n,s,t的值;
(2)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的比例;
(3)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关.
参考公式:
随机变量K2= ,n=a+b+c+d
在2×2列联表:
y1 | y2 | 总计 | |
x1 | a | b | a+b |
x2 | c | d | c+d |
总计 | a+c | b+d | a+b+c+d |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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