Question

设函数f（x）=x³-3x²-9x，g（x）=15x+a
（1）求f（x）的极值；
（2）若函数f（x）的图象与g（x）的图象恰有三个交点，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；令f′（x）＜0，解得-1＜x3，
所以f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上单调递增；在（-1，3）上单调递减．
所以x=-1时取得极大值f（-1）=5，x=3时取得极小值f（3）=-27．
（2）函数f（x）的图象与g（x）的图象恰有三个交点，
即x³-3x²-9x=15x+a有3个解，也即x³-3x²-24x=a有3个解，
令h（x）=x³-3x²-24x，则h′（x）=3x²-6x-24=3（x+2）（x-4），
令h′（x）＞0，解得x＜-2或x＞4，令h′（x）＜0，解得-2＜x＜4，
所以h（x）在（-∞，-2），（4，+∞）上单调递增，在（-2，4）上单调递减，
所以当x=-2时h（x）取得极大值h（-2）=-8-12+48=28，当x=4时h（x）取得极小值h（4）=64-48-96=-80．
所以-80＜a＜28，即a的取值范围为（-80，28）．
分析：（1）求导数f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0解得函数单调区间，由此可求出函数极值；
（2）函数f（x）的图象与g（x）的图象恰有三个交点，即f（x）=g（x）有3个解，也即x³-3x²-24x=a有3个解，令h（x）=x³-3x²-24x，用导数求出h（x）的极大值、极小值，则a取值在极小值与极大值之间，从而得到a的取值范围．
点评：本题考查应用导数求函数的极值问题，可导函数f（x）在某点x₀取得极值的充要条件是：f′（x₀）=0，且f′（x）在x₀左右两侧异号．