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已知f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)
(Ⅰ)证明函数f(x)的图象关于y轴对称;
(Ⅱ)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(Ⅲ)当x∈[1,2]时函数f(x)的最大值为
5
2
,求此时a的值.
(Ⅳ)当x∈[-2,-1]时函数f(x)的最大值为
5
2
,求此时a的值.
(Ⅰ)证明:∵x∈R,f(-x)=a-x+ax=ax+a-x=f(x)…(3分)
∴函数f(x)是偶函数,∴函数f(x)的图象关于y轴对称…(4分)
(Ⅱ)证明:设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ax1+a-x1-(ax2+a-x2)
(1)当a>1时,
由0<x1<x2,则x1+x2>0,则ax1>0ax2>0ax1ax2ax1+x2>1
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2);
(2)当0<a<1时,
由0<x1<x2,则x1+x2>0,则ax1>0ax2>0ax1ax20<ax1+x2<1
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2);
所以,对于任意a(a>0且a≠1),f(x)在(0,+∞)上都为增函数.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知f(x)在(0,+∞)上为增函数,则当x∈[1,2]时,函数f(x)亦为增函数;
由于函数f(x)的最大值为
5
2
,则f(2)=
5
2

a2+
1
a2
=
5
2
,解得a=
2
,或a=
2
2

(Ⅳ)由(Ⅰ)(Ⅱ)证知f(x)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,则知f(x)在(-∞,0)上为减函数;
则当x∈[-2,-1]时,函数f(x)为减函数
由于函数f(x)的最大值为
5
2
,则f(-2)=
5
2

1
a2
+a2=
5
2
,解得a=
2
,或a=
2
2
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4
3
)
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3
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