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设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)
此时,f(x)为偶函数
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a)
此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数
(2)①当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-
1
2
)2+a+
3
4

a≤
1
2
,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
a>
1
2
,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(
1
2
)=
3
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+a
,且f(
1
2
)≤f(a)

②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=(x+
1
2
)2-a+
3
4

a≤-
1
2
,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(-
1
2
)=
3
4
-a
,且f(-
1
2
)≤f(a)

a>-
1
2
,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上,当a≤-
1
2
时,函数f(x)的最小值为
3
4
-a

-
1
2
<a≤
1
2
时,函数f(x)的最小值为a2+1
a>
1
2
时,函数f(x)的最小值为
3
4
+a
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5
2
,求此时a的值.
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5
2
,求此时a的值.

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