Question

5．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．
（1）求角A的大小；
（2）若$a=2\sqrt{5}，b=2$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…（2分）
即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，
所以sinA+cosA=0，即$\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）=0$，…（4分）
又因为A∈（0，π），所以$A=\frac{3π}{4}$．…（6分）
（2）在△ABC中，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cosA，则$20=4+{c^2}-4c•（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$…（8分）
即${c^2}+2\sqrt{2}c-16=0$，解得$c=-4\sqrt{2}（舍）$或$c=2\sqrt{2}$，…（10分）
又$S=\frac{1}{2}bcsinA$，所以$S=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=2$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．