Question

8．若函数f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）+a在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]的最大值为M，最小值为N，且M+N=1，则a的值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -1
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由求出f′（x）=$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，且x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]时，f（x）是减函数，从而M=f（-$\frac{1}{2}$），N=f（$\frac{1}{2}$），由此能求出a的值．

解答 解：∵函数f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）+a，
$f（x）=ln（\frac{1-x}{1+x}）+a$，
∴f′（x）=$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，-1＜x＜1．
当x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]时，f′（x）＜0，∴x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]时，f（x）是减函数，
∵在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]的最大值为M，最小值为N，
∴M=f（-$\frac{1}{2}$）=ln（1+$\frac{1}{2}$）-ln（1-$\frac{1}{2}$）+a=ln$\frac{3}{2}$-ln$\frac{1}{2}$+a=ln3+a，
N=f（$\frac{1}{2}$）=ln（1-$\frac{1}{2}$）-ln（1+$\frac{1}{2}$）+a=ln$\frac{1}{2}$-ln$\frac{3}{2}$=-ln3+a，
∵M+N=1，∴M+N=ln3+a-ln3+a=2a=1，
解得a=$\frac{1}{2}$．
∴a的值是$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．