Question

16．在平面直角坐标系xOy中，圆P：（x-1）²+y²=4，圆Q：（x+1）²+y²=4．
（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P和圆Q的极坐标方程，并求出这两圆的交点M，N的极坐标；
（2）求这两圆的公共弦MN的参数方程．

Answer 1

分析 （1）利用直角坐标与极坐标的互化，可得圆P和圆Q的极坐标方程，联立求出这两圆的交点M，N的极坐标；
（2）求出M，N的直角坐标，可得这两圆的公共弦MN的参数方程．

解答 解：（1）圆P的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=3，…（1分）
圆Q的极坐标方程为ρ²+2ρcosθ=3． …（2分）
联立$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}-2ρcosθ=3，\;\;\\{ρ^2}+2ρcosθ=3，\;\;\end{array}\right.$
解得$ρ=\sqrt{3}$，cosθ=0，…（3分）
所以M，N的极坐标分别为$（{\sqrt{3}，\;\;\frac{π}{2}}）$，$（{\sqrt{3}，\;\;\frac{3}{2}π}）$．…（5分）
注：极坐标系下的点，表示方法不唯一．
（2）M，N的直角坐标分别为$（0，\;\;\sqrt{3}）$，$（0，\;\;-\sqrt{3}）$，…（7分）
所以公共弦MN的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=0，\;\;\\ y=t，\;\;\end{array}\right.t∈[-\sqrt{3}，\;\;\sqrt{3}]$．…（10分）

点评 本题以圆的方程为载体，考查极坐标方程，比较基础．