Question

【题目】已知数列满足.

（1）若数列是等差数列，求的值；

（2）当时，求数列的前项和；

（3）若对任意，都有成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由等差数列的定义，若数列是等差数列，则，，结合，得即可解得首项的值；（2）由，用代得，两式相减，得出数列是等差数列，进一步得到数列也是等差数列，下面对进行分类讨论：①当n为奇数时，②当n为偶数时，分别求和即可；（3）由（2）知的通项公式，①当为奇数时，②当为偶数时，分别解得的取值范围，最后综上所述，即可得到的取值范围．

（1）若数列是等差数列，则＝＋(n－1)d，＝＋nd．

由＋＝4n－3，得(＋nd)＋[＋(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，－d＝－3，解得d＝2，＝．

（2）由＋＝4n－3(n∈)，得＋＝4n＋1(n∈)．

两式相减，得－＝4．

所以数列是首项为，公差为4的等差数列．

数列是首项为，公差为4的等差数列．

由＋＝1，＝2，得＝－1．

所以．

①当n为奇数时，＝2n，＝2n－3．

＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋

＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝．

②当n为偶数时，＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＝1＋9＋…＋(4n－7) ＝．

所以．

（3）由（2）知，．

①当n为奇数时，＝2n－2＋，＝2n－1－．

由≥5，得－≥＋16n－10．

令＝＋16n－10＝＋6．

当n＝1或n＝3时，＝2，所以－≥2．

解得≥2或≤－1．

②当n为偶数时，＝2n－3－，＝2n＋．

由≥5，得＋≥＋16n－12．

令＝＋16n－12＝＋4．

当n＝2时，＝4，所以＋≥4．

解得≥1或≤－4．

综上所述，的取值范围是．