Question

【题目】设函数f（x）=．

(1)当m=4时，求函数f（x）的定义域M；

(2)当a，b∈RM时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

【答案】（1）M={x|x≤﹣2或x≥2}；（2）见解析.

【解析】

试题（1）由题意和二次根式的被开方数非负，可得|x+1|+|x﹣1|≥4，运用绝对值的意义和对x讨论，解不等式即可得到所求定义域；

（2）可得﹣2＜a，b＜2，要证2|a+b|＜|4+ab|，可证4（a+b）2＜（4+ab）2，作差4（a+b）2﹣（4+ab）2，运用平方差和因式分解，即可得证．

试题解析：

（1）解：当m=4时，由|x+1|+|x﹣1|≥4，

等价于 或 或 ，

解得x≤﹣2或x≥2或x∈．

则不等式的解集为M={x|x≤﹣2或x≥2}

（2）解：证明：当a，b∈CRM时，即﹣2＜a，b＜2，

所以4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）

=4a2+4b2﹣16﹣a2b2=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，所以4（a+b）2＜（4+ab）2，

即2|a+b|＜|4+ab|.