Question

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_n=5S_n-3（n∈N₊）．
（1）求S_n；
（2）若{b_n}是{a_n}的奇数项构成的数列，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）先根据a_n=5S_n-3，用a_n表示出S_n，进而求出a_n与a_n-1的比值，得到数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）求出的a_n=$\frac{3}{4}（-\frac{1}{4}）^{n-1}$=-3×（-$\frac{1}{4}$）ⁿ，结合b_n=a_2n-1得答案．

解答 解：（1）由a_n=5S_n-3得S_n=$\frac{{a}_{n}+3}{5}$，
当n≥2时S_n-1=$\frac{{a}_{n-1}+3}{5}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{5}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=-\frac{1}{4}$，
又当n=1时，a₁=5a₁-3，
∴a₁=$\frac{3}{4}$，则a_n=$\frac{3}{4}（-\frac{1}{4}）^{n-1}$=-3×（-$\frac{1}{4}$）ⁿ，
∴${S}_{n}=\frac{3-3×（-\frac{1}{4}）^{n}}{5}$；
（2）∵{b_n}是{a_n}的奇数项构成的数列，
且a_n=$\frac{3}{4}（-\frac{1}{4}）^{n-1}$=-3×（-$\frac{1}{4}$）ⁿ，
∴b_n=a_2n-1=$-3×（-\frac{1}{4}）^{2n-1}=\frac{3}{{4}^{2n-1}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，属中档题．