Question

12．求下列函数的值域：
（1）y=$\sqrt{2x+1}$+1；
（2）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用$\sqrt{2x+1}$≥0求得原函数的值域；
（2）把已知函数解析式变形，然后分离常数，即可求得函数的值域．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2x+1}≥0$，∴y=$\sqrt{2x+1}$+1≥1，则函数y=$\sqrt{2x+1}$+1的值域为[1，+∞）；
（2）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$-\frac{{x}^{2}+1-2}{{x}^{2}+1}=-1+\frac{2}{{x}^{2}+1}$，
∵x²+1≥1，∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+1}≤1$，则0＜$\frac{2}{{x}^{2}+1}≤2$，
∴-1$＜-1+\frac{2}{{x}^{2}+1}≤1$，
故y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$的值域为（-1，1]．

点评 本题考查函数的值域，训练了利用函数的单调性及分离常数法求函数的值域，是基础题．