Question

17．设f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d为常数．如果f（1）=10，f（2）=20，f（3）=30，那么，$\frac{1}{4}$[f（4）+f（0）]的值是（　　）

• A． 1
• B． 4
• C． 7
• D． 16

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-10x，则1，2，3为方程f（x）-10x=0的三个根，可设方程f（x）-10x=0的另一根为m，则方程f（x）-10x=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m），由此能求出$\frac{1}{4}$[f（4）+f（0）]．

解答 解：∵f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、d为常数．
f（1）=10，f（2）=20，f（3）=30，
∴构造函数g（x）=f（x）-10x，则g（1）=g（2）=g（3）=0，
即1，2，3为方程f（x）-10x=0的三个根
∵方程f（x）-10x=0有四个根，
故可设方程f（x）-10x=0的另一根为m
则方程f（x）-10x=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）
∴f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）+10x
故$\frac{1}{4}$[f（4）+f（0）]=$\frac{1}{4}$[（4-1）（4-2）（4-3）（4-m）+40+（0-1）（0-2）（0-3）（0-m）+0]=16．
故选：D．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．