Question

9．在棱长为2 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是体对角线BD₁的中点，Q在棱CC₁上运动，则|PQ|_min=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取CC₁的中点为Q，则PQ是异面直线BD₁和CC₁的公垂直线，由此能求出结果．

解答 解：取CC₁的中点为Q，
∵在棱长为2 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是体对角线BD₁的中点，
∴D₁Q=BQ=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，PC₁=PC=$\frac{1}{2}$BD₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵P是BD₁的中点，Q是CC₁的中点，
∴PQ⊥BB₁，且PQ⊥CC₁，
∴PQ是异面直线BD₁和CC₁的公垂直线，
∵Q在棱CC₁上运动，∴当Q为CC₁的中点时，
|PQ|_min=$\sqrt{P{C}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查线段长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．