Question

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：
（Ⅰ）a2+b2+c2≥

1

3

；
（Ⅱ）

a

+

b

+

c

≤

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用基本不等式ab≤

a2+b2

2

，bc≤

b2+c2

2

，ca≤

c2+a2

2

⇒a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3（a²+b²+c²）⇒（a+b+c）²≤3（a²+b²+c²），依题意，即可证得结论；
（Ⅱ）依题意，可证(

a

+

b

+

c

)2=1+2

ab

+2

bc

+2

ac

≤1+[（a+b）+（b+c）+（c+a）]=3．

解答： 证明：（Ⅰ）∵ab≤

a2+b2

2

，bc≤

b2+c2

2

，ca≤

c2+a2

2

，
三式相加得：ab+bc+ca≤a²+b²+c²，
∴2ab+2bc+2ca≤2a²+2b²+2c²，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3（a²+b²+c²），
∴（a+b+c）²≤3（a²+b²+c²），
∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
∴（a²+b²+c²）≥1，
∴a²+b²+c²≥

1

3

（当且仅当a=b=c=

1

3

时取“=”）
（Ⅱ）∵a，b，c均为正数，且a+b+c=1，
∴(

a

+

b

+

c

)2
=a+b+c+2

ab

+2

bc

+2

ac

=1+2

ab

+2

bc

+2

ac

≤1+[（a+b）+（b+c）+（c+a）]
=1+2（a+b+c）
=1+2=3，
∴

a

+

b

+

c

≤

3

．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的变形与应用，考查综合法与推理论证的能力，属于中档题．