Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，∠PBC=∠BAD=90°．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求证：AD∥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）在平面PAB内过点P作PH⊥AB于H，由面面垂直的性质可得PH⊥平面ABCD，进而可得PH⊥BC，又可得PB⊥BC，由线面垂直的判定定理可得；
（2）结合题意和（1）的结论易得AD∥BC，由线面平行的判定定理可得．

解答 证明：（1）在平面PAB内过点P作PH⊥AB于H，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PH?平面PAB，
∴PH⊥平面ABCD，又∵BC?平面ABCD，∴PH⊥BC，
由∠PBC=90°可得PB⊥BC，
又PH∩PB=P，PH，PB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB；
（2）∵AB?平面PAB，∴BC⊥AB，
由∠BAD=90°可得AD⊥AB，
故在平面ABCD中，AD∥BC，
又AD?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC

点评 本题考查直线和平面平行和垂直的判定，作出辅助线并熟练利用定理是解决问题的关键，属中档题．