【题目】定义域为R的偶函数f(x)满足对x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解:因为 f(x+2)=f(x)﹣f(1),且f(x)是定义域为R的偶函数
令x=﹣1 所以 f(﹣1+2)=f(﹣1)﹣f(1),f(﹣1)=f(1)
即 f(1)=0 则有,f(x+2)=f(x)
f(x)是周期为2的偶函数,
当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18=﹣2(x﹣3)2
图象为开口向下,顶点为(3,0)的抛物线
∵函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,
∵f(x)≤0,
∴g(x)≤0,可得a<1,
要使函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,
令g(x)=loga(|x|+1),
如图要求g(2)>f(2),可得
就必须有 loga(2+1)>f(2)=﹣2,
∴可得loga3>﹣2,∴3< ,解得﹣
<a<
又a>0,
∴0<a< ,
故选A;
根据定义域为R的偶函数f(x)满足对x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),可以令x=﹣1,求出f(1),再求出函数f(x)的周期为2,当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,画出图形,根据函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,利用数形结合的方法进行求解;
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 asinA=(
b﹣c)sinB+(
c﹣b)sinC.
(1)求角A的大小;
(2)若a= ,cosB=
,D为AC的中点,求BD的长.
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【题目】如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F、G分别为EB和AB的中点.
(1)求证:FD∥平面ABC;
(2)求二面角B﹣FC﹣G的正切值.
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【题目】如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AC= DC.
(I)若∠DAC=30°,求角B的大小;
(Ⅱ)若BD=2DC,且AD=2 ,求DC的长.
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【题目】变量x,y满足约束条件 ,若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是( )
A.{﹣3,0}
B.{3,﹣1}
C.{0,1}
D.{﹣3,0,1}
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【题目】已知椭圆 的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1 , k2 , 且k1+k2=8,证明:直线AB过定点( ).
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【题目】已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)的图象关于x= 对称,则函数y=f(
﹣x)是( )
A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图象关于点 对称
C.奇函数且它的图象关于点 对称
D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
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【题目】已知函数f(x)=2sinx( ).
(1)求函数f(x)在( )上的值域;
(2)在△ABC中,f(C)=0,且sinB=sinAsinC,求tanA的值.
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