Question

（2011•山东）等比数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b_n=a_n+（﹣1）ⁿlna_n，求数列{b_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

（1）a_n=2•3^n﹣1，n∈N*．
（2）S_2n=3²ⁿ+nln3﹣1

（1）当a₁=3时，不符合题意；
当a₁=2时，当且仅当a₂=6，a₃=18时符合题意；
当a₁=10时，不符合题意；
所以a₁=2，a₂=6，a₃=18，
∴公比为q=3，
故：a_n=2•3^n﹣1，n∈N*．
（2）∵b_n=a_n+（﹣1）ⁿlna_n
=2•3^n﹣1+（﹣1）ⁿln（2•3^n﹣1）
=2•3^n﹣1+（﹣1）ⁿ[ln2+（n﹣1）ln3]
=2•3^n﹣1+（﹣1）ⁿ（ln2﹣ln3）+（﹣1）ⁿnln3
∴S_2n=b₁+b₂+…+b_2n
=2（1+3+…+3^2n﹣1）+[﹣1+1﹣1+…+（﹣1）²ⁿ]•（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+…+（﹣1）²ⁿ2n]ln3
=
=3²ⁿ+nln3﹣1
∴数列{b_n}的前2n项和S_2n=3²ⁿ+nln3﹣1．