Question

11．若（x²+$\frac{9}{{x}^{2}}$-6）ⁿ展开式的系数和为256，则其展开式的常数项为5670．

Answer 1

分析 根据题意令x=1求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中的常数项．

解答 解：∵（x²+$\frac{9}{{x}^{2}}$-6）ⁿ=（x-$\frac{3}{x}$）²ⁿ，
且展开式的系数和为256，
∴令x=1，得（1-3）²ⁿ=256，
解得n=4；
∴（x-$\frac{3}{x}$）⁸的展开式中第r+1项为
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（-\frac{3}{x}）}^{r}$=（-3）^r•${C}_{8}^{r}$•x^8-2r，
令8-2r=0，解得r=4，
∴展开式中的常数项为（-3）⁴•${C}_{8}^{4}$=81${C}_{8}^{4}$=5670．
故答案为：5670．

点评 本题考查了二项式定理以及二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数的应用问题，是基础题目．