Question

已知平面ABEF⊥平面ABCD、长方形ABEF，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4
（1）求证AC⊥平面BCE
（2）求V_E-BCF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）过C作CM⊥AB，利用勾股定理的你逆定理得到AC⊥BC，结合平面ABEF⊥平面ABCD及面面垂直的性质定理可得BE⊥平面ABCD，进而BE⊥AC，再由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCE；
（2））由平面ABEF⊥平面ABCD，CM⊥AB，根据面面垂直的性质定理可得CM⊥平面BEF，即CM为三棱锥的高，计算出CM的长及底面三角形的面积，代入棱锥体积公式可得答案．

解答： 证明：（1）过C作CM⊥AB，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，
∴AM=MB=4，又AD=4，AB=2CD=8，∴AC=

CM2+BM2

=4

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥AB，
又AB=平面ABEF∩平面ABCD，
∴BE⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，
∴BE⊥AC，又BE?平面BCE，AC⊥BC，BC?平面BCE
∴AC⊥平面BCE．

（2）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，CM⊥AB，CM?平面ABCD，
∴CM⊥平面ABEF，∴四棱锥C-BEF的高为CM，
∴四棱锥C-BEF的体积=

1

3

×CM×S_△BEF=

1

3

×2×

1

2

×8×2=

16

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（1）的关键是熟练掌握面面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（2）的关键是判断出棱锥的高和底面面积．本题属于基本知识的考查．