Question

已知数列{a_n}是一个公差大于零的等差数列，且a₃a₆=55，a₂+a₇=16，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an

bn

，T_n=c₁+c₂+…+c_n，试比较T_n与

4n

2n+1

的大小，并予以证明．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），由已知列方程组求解首项和公差，得到数列{a_n}的通项公式，再由S_n=2b_n-2确定数列{b_n}为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=

an

bn

，由错位相减法求其前n项和，然后利用归纳猜想得到当n=1，2时，T_n＜

4n

2n+1

；当n≥3时，T_n＞

4n

2n+1

．最后利用数学归纳法证明．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），
则

(a1+2d)(a1+5d)=55① 2a1+7d=16②

，把②代入①得：（16-3d）（16+3d）=220，
解得：d²=4，
∵d＞0，∴d=2，a₁=1，
∴a_n=2n-1．
当n=1时，S₁=2b₁-2，b₁=2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（2b_n-2）-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则bn=2n；
（Ⅱ）cn=

an

bn

=

2n-1

2n

，
Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
两式作差得：

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴Tn=3-

2n+3

2n

．
Tn-

4n

2n+1

=3-

2n+3

2n

-

4n

2n+1

=

(2n+3)(2n-2n-1)

(2n+1)2n

．
要比较T_n与

4n

2n+1

的大小，只需比较2ⁿ与2n+1的大小即可．
由2＜2×1+1，2²2×3+1，2⁴＞2×4+1，
可猜想当n≥3时，2ⁿ＞2n+1．
下面用数学归纳法证明：
当n=3时显然成立；假设当n=k（k≥3）时猜想成立，即2^k＞2k+1，
当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1．
∴当n=k+1时猜想成立．
综上，当n=1，2时，T_n＜

4n

2n+1

；当n≥3时，T_n＞

4n

2n+1

．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了数学归纳法证明数列不等式，是难题．