Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（2，1）．求：
（1）|$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|；
（2）当k为何实数时，k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$平行，平行时它们是同向还是反向？
（3）当向量k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直时，求向量k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由向量的坐标计算公式可得$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$的坐标，进而由向量模的公式计算可得答案；
（2）根据题意，计算k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得3（k-2）=-7，解可得k的值，由k的值可以分析k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$反向；
（3）根据题意，由向量k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直分析可得（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=k-2+1=0，解可得k=1，由向量的坐标计算公式可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$以及|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|、|$\overrightarrow{b}$|，由向量的数量积公式计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（2，1），
$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$=（1，0）+3（2，1）=（1，0）+（6，3）=（7，3）
∴|$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{58}$，
（2）k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（k-2，-1），$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$=（7，3）
∵k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$平行
∴3（k-2）=-7，解得：k=-$\frac{1}{3}$，
此时k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{7}{3}$，-1），$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$=（7，3）
∴k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）∴k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$反向；
（3）k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（k-2，-1），3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（1，-1）
∵向量k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，
则有（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=k-2+1=0，
解可得k=1，
k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$即$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
又由向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（2，1），则$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-1，-1）
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=（-1，-1）•（2，1）=-3
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$
∴cos＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查向量数量积运算以及向量的坐标运算，涉及向量垂直、平行的判定，关键是牢记向量坐标的坐标计算公式．