Question

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)当点P(x₀，y₀)为直线l上的定点时，求直线AB的方程．

Answer 1

解　(1)依题意，设抛物线C的方程为x²＝4cy，

则＝，c>0，解得c＝1.

所以抛物线C的方程为x²＝4y.

(2)抛物线C的方程为x²＝4y，

即y＝x²，

求导得y′＝x，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则切线PA，PB的斜率分别为x₁，x₂，

所以切线PA的方程为y－y₁＝(x－x₁)，

即y＝x－＋y₁，

即x₁x－2y－2y₁＝0.

同理可得切线PB的方程为x₂x－2y－2y₂＝0，

又点P(x₀，y₀)在切线PA和PB上，

所以x₁x₀－2y₀－2y₁＝0，x₂x₀－2y₀－2y₂＝0，

所以(x₁，y₁)，(x₂，y₂)为方程x₀x－2y₀－2y＝0 的两组解，

所以直线AB的方程为x₀x－2y－2y₀＝0.