Question

17．定义域为R的可导函数f（x）的导函数f'（x），且满足f（x）＞f'（x），f（0）=1，则不等式$\frac{f（x）}{e^x}＜1$的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 根据条件构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．

解答 解：设F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则F′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＞f′（x），
∴F′（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．
∵f（0）=1，
∴不等式$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1等价为F（x）＜F（0），
解得x＞0，
故不等式的解集为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．