Question

9．某校高一年级学生身体素质体能测试的成绩（百分制）分布在[40，100]内，同时为了解学生爱好数学的情况，从中随机抽取了n名学生，这n名学生体能测试成绩的频率分布直方图如图所示，各分数段的“爱好数学”的人数情况如表所示．

组数	体能成绩分组	爱好数学的人数	占本组的频率
第一组	[50，60）	100	0.5
第二组	[60，70）	195	p
第三组	[70，80）	120	0.6
第四组	[80，90）	a	0.4
第五组	[90，100]	30	0.3

（1）求n、p的值；
（2）用分层抽样的方法，从体能成绩在[70，90）的“爱好数学”学生中随机抽取6人参加某项活动，现从6人中随机选取2人担任领队，记体能成绩在[80，90）内领队人数为X人，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题知第一组的频率为0.02×10=0.2、人数为$\frac{100}{0.5}$=200，故n=1000．利用第二组的频率为1-（0.02+0.025+0.015+0.01）×10=0.3，求出p；
（2）先计算抽出的6人中有4人体能成绩在[70，80），2人体能成绩在[80，90）．确定X的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列及数学期望．

解答 解：（1）由题知第一组的频率为0.02×10=0.2、人数为$\frac{100}{0.5}$=200，故n=1000．
第二组的频率为1-（0.02+0.025+0.015+0.01）×10=0.3
∴p=$\frac{195}{1000×0.3}$=0.65．…（6分）
（2）由题a=60，
∴抽出的6人中有4人体能成绩在[70，80），2人体能成绩在[80，90）．
则X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$…（9分）
分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{6}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

EX=0×$\frac{6}{15}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$…（12分）

点评 本题考查等可能事件的概率以及频率分布表，考查X的分布列及数学期望．解题的关键是理解概率问题中事件中包含的基本事件的个数和求法，以及能利用频率分布表的特征计算各组的频率与频数．