Question

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求；

（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

Answer 1

【解析】（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．

记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，

因为P(X＝5)＝×，所以P (A)＝1－P(X＝5)＝1－×=，所以  .……6分

（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X₁，都选择方案乙抽奖中奖次数为X₂，

则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X₁)，

选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X₂)．

由已知可得，X₁～B，X₂～B，

所以E(X₁)＝2×＝，E(X₂)＝2×，

从而E(2X₁)＝2E(X₁)＝，E(3X₂)＝3E(X₂)＝6.

若E(2X₁)  E(3X₂)，则6；

若E(2X₁)  E(3X₂)，则6；

若E(2X₁)  E(3X₂)，则=6；

综上所述，当时，他们都选择方案甲进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当时，他们都选择方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当时，他们选择方案甲或方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望相等…………13分