Question

设函数．

（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（2）若，试比较当时，与的大小；

（3）证明：对任意的正整数，不等式成立．

Answer 1

解析：（1）∵又函数在定义域上是单调函数.

∴   或在上恒成立

若在上恒成立，即函数是定义域上的单调地增函数，则在上恒成立，由此可得；

若在上恒成立，则在上恒成立.即在上恒成立.

∵在上没有最小值

∴不存在实数使在上恒成立.

综上所述，实数的取值范围是.                

（2）当时，函数.

令

则

显然，当时，，

所以函数在上单调递减

又，所以，当时，恒有，

即恒成立.

故当时，有                         

（3）数学归纳法

证明：1、当时，左边=，右边=，原不等式成立.

2、设当时，原不等式成立，

即

则当时，

左边=

只需证明

即证

即证

由（2）知

即

令，即有

所以当时成立

由1、2知，原不等式成立