Question

15．若数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的是等比数列，
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n．变形为$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$×$\frac{1}{3}$，利用等比数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{3}）^{n}$，即可得出a_n．
（3）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$×$\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的是等比数列，首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{3}）^{n}$，因此a_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
（3）解：数列{a_n}前n项和为S_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．