Question

20．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，asinA=bsinB+（c-b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{B}{2}$-sin（C-$\frac{π}{3}$）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原式由正弦定理化简可得a²=b²-bc，从而有余弦定理并结合A的范围即可求得A的值．
（Ⅱ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=sin（B+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，结合角B的范围及正弦函数的单调性即可得解．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）asinA=bsinB+（c-b）sinC．
⇒2RasinA=2RbsinB+2R（c-b）sinC
⇒a²=b²-bc
⇒cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{1}{2}$
⇒A=$\frac{π}{3}$…5分
（Ⅱ）f（x）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{B}{2}$-sin（C$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$（cosB+1）-sin（$\frac{π}{3}-B$）
=$\sqrt{3}$cosB+$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB
=$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\sqrt{3}$
=sin（B+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$…8分
由于0$＜B＜\frac{2π}{3}$⇒$\frac{π}{3}＜B+\frac{π}{3}＜π$⇒$\sqrt{3}＜f（x）≤1+\sqrt{3}$，
所以函数f（x）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{B}{2}$-sin（C-$\frac{π}{3}$）的值域为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}+1$]…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数中的恒等变换应用，解题时注意角的范围的讨论，属于基本知识的考查．