Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n+2n，n∈N₊．
（1）求证：a₂是a₁，a₃的等比中项；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知结合数列递推式求出a₂，a₃的值，由此可得a₂是a₁，a₃的等比中项；
（2）在数列递推式中分别取n=1，2，3，…，然后利用累加法求得数列通项公式．

解答： （1）证明：由a₁=2，a_n+1=a_n+2n，得a₂=a₁+2=2+2=4，a₃=a₂+2×2=4+4=8，
∵a22=42=2×8=a1a3，∴a₂是a₁，a₃的等比中项；
（2）解：由a₁=2，a_n+1=a_n+2n，得：
a₂=a₁+2×1，
a₃=a₂+2×2，
a₄=a₃+2×3，
…
a_n=a_n-1+2（n-1）．
∴a_n=a₁+2[1+2+3+…+（n-1）]=2+2×

(1+n-1)(n-1)

2

=2+n²-n．

点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．