Question

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD．
（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；
（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．

Answer 1

考点：圆的切线的判定定理的证明,与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）连接OP，由AC与BD都与直线l垂直，得到AC与BD平行，由AB与l不相交得到四边形ABDC为梯形，又O为AB中点，P为CD中点，所以OP为梯形的中位线，根据梯形中位线性质得到OP与BD平行，从而得到OP与l垂直，而P在圆上，故l为圆的切线；
（Ⅱ）过点A作AE⊥BD，垂足为E，求出BE，利用勾股定理，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，从而OP⊥l．
因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．
（Ⅱ）解：由上知OP=

1

2

（AC+BD），
所以BD=2OP-AC=6，
过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD-AC=6-4=2，
在Rt△ABE中，AE=

AB2-BE2

=4

6

，
∴CD=4

6

．

点评：此题考查了切线的判定，梯形中位线性质及直线与圆的位置关系．证明切线时：有点连接圆心与这点，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径，是经常连接的辅助线．