Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=-

1

an+2

，a₁=-

1

2

．
（1）求证{

1

an+1

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设T_n=a_n+a_n+1+…+a_2n-1，若T_n≥p-n对任意的n∈N^*恒成立，求p的最大值．

Answer 1

考点：数列递推式,函数恒成立问题

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an+1+1=-

1

an+2

+1=

an+2-1

an+2

=

an+1

an+2

，从而

1

an+1+1

=

an+2

an+1

=1+

1

an+1

，由此能证明{

1

an+1

}是以2为首项，以1为公差的等差数列．
（2）由（1）得

1

an+1

=2+(n-1)=n+1，由此能求出数列{a_n}的通项公式
（3）由已知得（1+a_n）+（1+a_n+1）+（1+a_n+2）+…+（1+a_2n-1）≥p对任意n∈N^*恒成立，由1+a_n=

1

n+1

，设H（n）=（1+a_n）+（1+a_n+1）+…+（1+a_2n-1），推导出H（n+1）-H（n）＞0，从而n∈N^*时，H（n）≥H（1）=

1

2

，由此能求出P的最大值为

1

2

．

解答： （1）证明：∵a_n+1=-

1

an+2

，a₁=-

1

2

，
∴an+1+1=-

1

an+2

+1=

an+2-1

an+2

=

an+1

an+2

，
∵a_n+1=0与a1=-

1

2

矛盾，∴a_n+1≠0，
∴

1

an+1+1

=

an+2

an+1

=1+

1

an+1

，
又

1

a1+1

=

1

- 1 2 +1

=2，
∴{

1

an+1

}是以2为首项，以1为公差的等差数列．
（2）解：由（1）得

1

an+1

=2+(n-1)=n+1，
∴an=

1

n+1

-1=-

n

n+1

，n∈N^*．
（3）解：∵T_n=a_n+a_n+1+…+a_2n-1≥p-n，
∴n+a_n+a_n+1+…+a_2n-1≥p，
∴（1+a_n）+（1+a_n+1）+（1+a_n+2）+…+（1+a_2n-1）≥p对任意n∈N^*恒成立，
而1+a_n=

1

n+1

，
设H（n）=（1+a_n）+（1+a_n+1）+…+（1+a_2n-1），
∴H(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
H（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴H（n+1）-H（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
∴数列{H（n）}单调递增，
∴n∈N^*时，H（n）≥H（1）=

1

2

，故P≤

1

2

，
∴P的最大值为

1

2

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构法和函数单调性的合理运用．