Question

设y=f（x）（x∈R）对任意实数x₁，x₂，满足f（x₁）+f（x₂）=f（x₁•x₂）．求证：
（1）f（1）=f（-1）=0；
（2）f（x）是偶函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）可采用赋值法，令x₁=x₂=1，求得f（1）=0，令x₁=x₂=-1，求得f（-1）=0，问题得以证明；
（2）可采用赋值法，令x₁=-1，x₂=x，得到f （-x）=f （-1）+f （x），再令x₁=1，x₂=-1，求得f（1），同理可求得f（-1），f（x）的奇偶性即可判断．

解答： 证明：（1）∵f（x₁）+f（x₂）=f（x₁•x₂），
令x₁=x₂=1，
∴f（1）+f（1）=f（1），
∴f（1）=0，
令x₁=x₂=-1，
∴f（-1）+f（-1）=f（1），
∴f（-1）=0，
∴f（1）=f（-1）=0；
（2）：令x₁=1，x₂=-1，
则f（1）+f（-1）=f（-1），即f（1）=0，
再令x₁=x₂=-1得：f（-1）+f（-1）=f（1）=2f（-1）=0，
∴f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x，得f（-1）+f（x）=f（-x），
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，着重考查学生灵活应用赋值法研究函数的奇偶性，属于中档题．