Question

已知函数f（x）=sin²x+sin2x+3cos²x，求
（Ⅰ）函数f（x）的最小值及此时的x的集合；
（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，由正弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值及此时的x的集合；
（Ⅱ）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²x+sin2x+3cos²x=sin2x+cos2x+2=

2

sin（2x+

π

4

）+2．
∴当sin（2x+

π

4

）=-1，即x∈{x|x=kπ+

5π

8

（k∈Z）}时，f（x）_min=2-

2

．
（Ⅱ）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间是：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．