Question

已知函数f（x）=alnx-x²，在区间（0，1）内任取两个实数m，n，且m≠n，不等式ln

f(m+1)-f(n+1)

m-n

＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：不等式ln

f(m+1)-f(n+1)

m-n

＞0恒成立?

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

＞1恒成立，由于

f(m+1)-f(n+1)

m-n

=

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

，表示点（m+1，f（m+1）） 与点（n+1，f（n+1））连线的斜率，所以函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，根据导数的几何意义，可将问题转化为在（1，2）上f′（x）=

a

x

-2x＞1，从而可求出实数a的取值范围．

解答： 解：由于

f(m+1)-f(n+1)

m-n

=

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

，
表示点（m+1，f（m+1）） 与点（n+1，f（n+1））连线的斜率，
因实数m，n在区间（0，1）内，故m+1和n+1在区间（1，2）内．
∵不等式ln

f(m+1)-f(n+1)

m-n

＞0恒成立?

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
∵f（x）=alnx-x²，
∴f′（x）=

a

x

-2x，
又函数f′（x）=

a

x

-2x在（1，2）上单调递减，
∴在（1，2）上f′（x）=

a

x

-2x＞1?f′（2）≥1，
即a≥6，
故答案为：a≥6．

点评：本题考查函数的性质，导数的几何意义，斜率的概念等知识的灵活应用，属于难题．