Question

矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  3π

  8

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型

专题：三角函数的求值

分析：如图所示，建立直角坐标系．设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.θ∈(0，

π

2

)．可得B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．|OC|²=sin²θ+（cosθ+2sinθ）²
=2

2

sin(2θ-

π

4

)+3，由于θ∈(0，

π

2

)，可得(2θ-

π

4

)∈(-

π

4

，

3π

4

)．即可得出．

解答： 解：如图所示，
建立直角坐标系．
设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.θ∈(0，

π

2

)．
B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．
∴|OC|²=sin²θ+（cosθ+2sinθ）²
=1+4sinθcosθ+4sin²θ
=1+2sin2θ+2（1-cos2θ）
=2

2

sin(2θ-

π

4

)+3，
∵θ∈(0，

π

2

)，∴(2θ-

π

4

)∈(-

π

4

，

3π

4

)．
∴当2θ-

π

4

=

π

2

，即θ=

3π

8

时，|OC|²取得最大值，2

2

+3．
故选：D．

点评：本题考查了两点之间的距离公式、点的坐标、两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．