Question

如图，已知A（4，0），B（0，4），P（t，0）（0＜t＜4），光源P发出的光线设在AB上的Q处反射在OB上的R处，最后反射在P处．①若t=2，则PQ+QR+RP=

 

；②若QR过△ABO的重心，则t=

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：如图，根据对称的知识可知，PQ=QN，PR=RM，所以所求的长度即为MN的长度，可以先求出M，N的坐标，然后利用两点间的距离公式计算即可；若QR过△ABO的重心，由已知容易求得重心的坐标，代入MN的直线方程，即可求出t的值．

解答： 解：如图所示：由已知设P（t，0），且A（4，0），B（0，4），M（-t，0），
因为P，N关于AB对称，所以N（4，4-t），
又根据对称得PQ=QN，PR=MR，所以PQ+QR+RP=MN=

(4+t)2+(4-t)2

=

32+2t2

．
当t=2时，代入上式得MN=2

10

．
根据已知得kMN=

4-t

4+t

，故直线MN的方程为y=

4-t

4+t

(x+t)．
而△ABO的重心为（

4

3

，

4

3

），代入MN的方程得t=

4

3

．
故答案为：2

10

；

4

3

．

点评：本题考查了坐标法解决几何问题的基本思路，本题的关键是根据对称表示出点M，N的坐标．