Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，（n+1）•a_n+1=2（n+2）•a_n，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则

an+1

Sn

=（　　）

• A、

  n+1

  n

• B、

  n+2

  n

• C、

  2(n+1)

  n

• D、

  2(n+2)

  n

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式得到数列{

an

n+1

}构成以1为首项，以2为公比的等比数列，求出其通项，利用错位相减法求出S_n，则答案可求．

解答： 解：由（n+1）•a_n+1=2（n+2）•a_n，
得

an+1

n+2

=2

an

n+1

，即

an+1

(n+1)+1

=2

an

n+1

．
∵

a1

1+1

=

2

2

=1，
∴数列{

an

n+1

}构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
则

an

n+1

=2n-1，an=(n+1)•2n-1，
an+1=(n+2)•2n．
Sn=2•20+3•21+4•22+…+n•2n-2+(n+1)•2n-1．
2Sn=2•21+3•22+4•23+…+n•2n-1+(n+1)•2n．
两式作差得：-Sn=2+21+22+…+2n-1-(n+1)•2n
=2+

2(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n=2+2ⁿ-2-（n+1）•2ⁿ=-n•2ⁿ．
∴Sn=n•2n．
则

an+1

Sn

=

(n+2)•2n

n•2n

=

n+2

n

．
故选：B．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．