Question

已知x₀，x₀+

π

2

是函数f（x）=

3

2

sin（2ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的两个相邻的零点，函数与y轴相交于（0，

3

4

）
（1）求f（

π

12

）的值；
（2）若对任意x∈[-

7π

12

，0），都有|f（x）-m|≤1，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）条件三角函数的性质求出ω 和φ的值即可求f（

π

12

）的值；
（2）求出函数在x∈[-

7π

12

，0）的取值范围，结合绝对值不等式的性质进行求解．

解答： 解：（1）∵x₀，x₀+

π

2

是函数f（x）=

3

2

sin（2ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的两个相邻的零点，
∴函数的周期T=2（x₀+

π

2

-x₀）=2×

π

2

=π，则

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∵函数与y轴相交于（0，

3

4

），
∴f（0）=

3

2

sinφ=

3

4

，
即sinφ=

3

2

，
即φ=

π

3

，
则f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

），
即f（

π

12

）=

3

2

sin（2×

π

12

+

π

3

）=

3

2

sin

π

2

=

3

2

．
（2）∵f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

），
∴若x∈[-

7π

12

，0），
则2x∈[-

7π

6

，0），
2x+

π

3

∈[-

5π

6

，

π

3

），
则-1≤sin（2x+

π

3

）＜

3

2

，
则-

3

2

≤

3

2

sin（2x+

π

3

）＜

3

4

，
即-

3

2

≤f（x）＜

3

4

，
∴1-

3

2

≤1+f（x）＜

7

4

，
-

7

4

＜-1-f（x）≤-1-

3

2

，
若|f（x）-m|≤1，
则-1-f（x）≤m≤1+f（x），
即-1-

3

2

≤m≤1-

3

2

．

点评：本题主要考查三角函数解析式的求解和求值，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．