Question

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，a₂+a₃=5，且S_n=

n

2

a_n+

n

2

，则S₁₀=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由S_n=

n

2

a_n+

n

2

，可得当n≥2时，Sn-1=

n-1

2

an-1+

n-1

2

，可得（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0，又（n-1）a_n+1-na_n+1=0，相减可得a_n+1+a_n-1=2a_n．数列{a_n}是等差数列，进而得出．

解答： 解：∵S_n=

n

2

a_n+

n

2

，
∴当n≥2时，Sn-1=

n-1

2

an-1+

n-1

2

，
∴an=

n

2

an-1-

n-1

2

an-1+

1

2

，
化为（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0，
又（n-1）a_n+1-na_n+1=0，
∴（n-1）a_n+1-2（n-1）a_n+（n-1）a_n-1=0，
∴a_n+1+a_n-1=2a_n．
∴数列{a_n}是等差数列，
∵S_n=

n

2

a_n+

n

2

，取n=1，可得a1=

1

2

a1+

1

2

，a₁=1，
取n=3，可得1+a₂+a₃=

3

2

a3+

3

2

，又a₂+a₃=5，解得，a₂=2，a₃=3．
∴等差数列{a_n}的首项为1，公差为1，
∴a_n=n．
则Sn=

n(n+1)

2

，
∴S₁₀=

10×11

2

=55．
故答案为：55．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．