Question

定义：

n

p1+p2+…+pn

为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”，已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为1+

an

Sn

其中S_n是数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：依题意，可得S_n+a_n=n，继而知S_n+1+a_n+1=n+1，两式相减，易知数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，于是可求得数列{a_n}的通项公式及前n项和公式．

解答： 解：∵

n

a1+a2+…+an

=

n

Sn

=1+

an

Sn

，
∴S_n+a_n=n，①
S_n+1+a_n+1=n+1，②
②-①得：2a_n+1=a_n+1，即a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），又

1

a1

=1+

a1

S1

=1+1=2，
∴a₁=

1

2

，a₁-1=-

1

2

，
∴数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴a_n-1=（-

1

2

）•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
∴a_n=1-(

1

2

)n．
设数列{a_n}的前n项和为T_n，
则T_n=a₁+a₂+…+a_n=n-[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]=n-

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=n-1+(

1

2

)n．

点评：本题考查数列的求和，考查等比关系的确定，求得a_n=1-(

1

2

)n是关键，考查化归思想与推理运算能力，属于中档题．