Question

已知f（x）（x∈R）对任意实数x₁，x₂都有f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）•f（x₂），求证：f（x）为偶函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：令x₁=x，x₂=0，则有f（x）+f（x）=2f²（x），可求得f（x），再分根据函数图象的性质，即可证明．

解答： 证明：∵对任意实数x₁，x₂都有f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）•f（x₂），
∴令x₁=x，x₂=0，则有f（x）+f（x）=2f²（x），
∴f（x）=0，或f（x）=1，
∴直线y=0与直线y=1分别关于y轴对称，
∴函数f（x）为偶函数．

点评：本题考查了抽象函数及其应用以及函数奇偶性的判断．抽象函数给定恒等式时，关键是根据所要求的表达式进行恰当的赋值，以及利用函数图象的性质，属于基础题．