Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是四边形OABC（含边界）内的任意一点，其中O（0，0），A（0，1），B（1，2），C（3，0）．设向量

.

m

=（1，1），

.

n

=（2，1），若

.

OP

=λ

.

m

+μ

.

n

（λ，μ为实数）．
（Ⅰ）当λ=μ=

1

2

时，求|

.

OP

|；
（Ⅱ）求λ-μ的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量的模

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）求出向量OP的坐标，由模的公式计算即可得到；
（Ⅱ）用x，y表示λ，μ，得到z=λ-μ=3y-2x，作出直线l₀：3y-2x=0，平移直线，观察当l₀经过点B（1，2），z取得最大值，当l₀经过点C（3，0），z取得最小值．计算即可得到所求范围．

解答： 解：（Ⅰ）当λ=μ=

1

2

时，

.

OP

=λ

.

m

+μ

.

n

=

1

2

（

m

+

n

）=（

3

2

，1），
则|

OP

|=

9 4 +1

=

13

2

；
（Ⅱ）

.

OP

=λ

.

m

+μ

.

n

=（λ+2μ，λ+μ），
则x=λ+2μ，y=λ+μ．
则有λ=2y-x，μ=x-y，
令z=λ-μ=3y-2x，
如图阴影部分为P所在的区域，
作出直线l₀：3y-2x=0，
将直线l₀平移，
当l₀经过点B（1，2），z取得最大值，且为3×2-2×1=4；
当l₀经过点C（3，0），z取得最小值，且为3×0-2×3=-6．
则λ-μ的取值范围是[-6，4]．

点评：本题考查向量的模的公式的运用，主要考查线性目标函数在可行域内的最值求法，考查运算能力，运用平移法是解题的关键．