Question

已知函数f（x）=

cx-1

x+1

（c为常数），1为函数f（x）的零点．
（1）求c的值；
（2）证明函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据零点的定义，f（1）=

c-1

2

=0，从而可求出c=1；
（2）先得到f（x）=1-

2

x+1

，根据单调性的定义设x₂＞x₁＞-1，作差证明f（x₂）＞f（x₁）即可．

解答： 解：（1）1为f（x）的一个零点，∴f（1）=

c-1

2

=0；
∴c=1；
（2）由（1）可知f（x）=

x-1

x+1

=1-

2

x+1

；
证明：设任意x₂＞x₁＞-1，则：
f(x2)-f(x1)=1-

2

x2+1

-(1-

2

x1+1

)=

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

；
∵x₂＞x₁＞-1；
∴x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0；
∴

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0；
∴f（x₂）＞f（x₁）；
所以函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增．

点评：考查函数零点的定义，以及函数的单调性定义，根据单调性定义证明函数单调性的方法与过程．