Question

设函数f（x）=

2x+1

x

（x＞0），数列{a_n}满足a₁=1，an=f(

1

an-1

)，（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_2n＞4tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an=f(

1

an-1

)=2+

1

1 an-1

=an-1+2，（n≥2），从而a_n-a_n-1=2，由此能求出a_n=2n-1．
（2）法1：T2n=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)2n-1a2na2n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）=-4（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）=-8n²-4n，从而t＜

-8n2-4n

4n2

=-2-

1

n

，由此能求出实数t的取值范围．
法2：a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1=a_2n（a_2n-1-a_2n+1）=-4（4n-1）=-16n+4T_2n）=-8n²-4n，从而t＜

-8n2-4n

4n2

=-2-

1

n

，由此能求出实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x+1

x

（x＞0），
∴an=f(

1

an-1

)=2+

1

1 an-1

=an-1+2，（n≥2）
∴a_n-a_n-1=2，…（2分）
又∵a₁=1，∴数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列．
∴a_n=2n-1．（n∈N^*）…（4分）
（2）解法1：T2n=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)2n-1a2na2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-4（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=-4×

a2+a2n

2

×n=-2n(3+4n-1)=-8n2-4n，…（8分）
∵T2n＞4tn2恒成立，∴t＜

-8n2-4n

4n2

=-2-

1

n

，
又y=-2-

1

n

在n∈N^*单调递增，
故-2-

1

n

≥-3，即t＜-3．…（12分）
解法2：a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1=a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-4（4n-1）=-16n+4T_2n
=（a₁a₂-a₂a₃）+（a₃a₄-a₄a₅）+…+（a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1）
=-16（1+2+3+…+n）+4n
=-16n×

1+n

2

+4n=-8n2-4n…（8分）
∵T2n＞4tn2恒成立，∴t＜

-8n2-4n

4n2

=-2-

1

n

，
又y=-2-

1

n

在n∈N^*单调递增，
故-2-

1

n

≥-3，即t＜-3．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．