Question

f（x）=lg

1+2x+3x+…+(n-1)x+nxa

n

，其中a是实数，n是任意给定的正自然数且n≥2，如果f（x）当x∈（-∞，1]时有意义，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：分离参数a＞-[（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+…+(

n-1

n

)x]，运用函数y=（

k

n

）^x，k=1，2，3…n-1，在（-∞，1]上都是增函数
，y=-[（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+…+(

n-1

n

)x]，（-∞，1]上也是增函数，求解最值问题即可．

解答： 解：f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，
即a＞-[（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+…+(

n-1

n

)x]，
∵y=-（

k

n

）^x，k=1，2，3…n-1，在（-∞，1]上都是增函数，
∴y=-[（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+…+(

n-1

n

)x]，在（-∞，1]上也是增函数，
从而它在x=1时取得最大值-（

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

）=-

1

2

（n-1）．
所以a＞-[（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+…+(

n-1

n

)x]，成立．
n≥2
只需a＞-

1

2

，
故a的取值范围是{a|a＞-

1

2

}．

点评：本题综合考查了函数的性质的运用，解决不等式恒成立问题时，注意根据单调性求解最值问题．