Question

设O₁，O₂，…，O_n，…是坐标平面上圆心在x轴非负半轴上的一列圆（其中O₁为坐标原点），且圆O_n和圆O_n+1相外切，并均与直线x+

3

y-2

3

=0相切，记圆O_n的半径为R_n．
（Ⅰ）求圆O₁的方程；
（Ⅱ）求数列{R_n}的通项公式，并求数列{

3

3

R_n•log 

3

R_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,直线与圆

分析：（Ⅰ）设圆O₁的方程为x²+y²=R₁²，由直线和圆相切的条件d=r，运用点到直线的距离公式可得半径，即可得到圆的方程；
（Ⅱ）设直线x+

3

y-2

3

=0与x轴相交于A，直线与圆O_n切于点B_n，与圆O_n+1切于点B_n+1，运用直角三角形的性质和两圆外切的条件可得数列{R_n}为首项为

3

，公比是

1

3

的等比数列，运用等比数列的通项公式，以及数列求和的方法：错位相减法，即可求得前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设圆O₁的方程为x²+y²=R₁²，
由直线和圆相切的条件可得R₁=

|0+0-2 3 |

12+( 3 )2

=

3

，
即圆O₁的方程为x²+y²=3；
（Ⅱ）设直线x+

3

y-2

3

=0与x轴相交于A，
直线与圆O_n切于点B_n，与圆O_n+1切于点B_n+1，
则tan∠O_nAB_n=

3

3

，即∠O_nAB_n=30°，
则|O_nA|=2|O_nB_n|=2R_n，|O_n+1A|=2R_n+1，
由于圆O_n和圆O_n+1相外切，
则|O_nO_n+1|=|O_nA|-|O_n+1A|=2（R_n-R_n+1）=R_n+R_n+1，
则有R_n+1=

1

3

R_n，
即有数列{R_n}为首项为

3

，公比是

1

3

的等比数列，
则R_n=

3

•（

1

3

）^n-1=(

1

3

)n-

3

2

，
记b_n=

3

3

R_n•log

3

Rn=（

1

3

）^n-1•（n-

3

2

）log

3

1

3

=-（2n-3）•（

1

3

）^n-1，
S_n=-[-1+1×

1

3

+3×（

1

3

）²+…+（2n-3）•（

1

3

）^n-1]，

1

3

S_n=-[-1×

1

3

+1×（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+…+（2n-3）•（

1

3

）ⁿ]，
两式相减可得

2

3

S_n=-[-1+2×

1

3

+2×（

1

3

）²+…+2×（

1

3

）^n-1-（2n-3）•（

1

3

）ⁿ]
=1-2×

1 3 ×[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

+（2n-3）•（

1

3

）ⁿ=2n•（

1

3

）ⁿ．
则有S_n=n•（

1

3

）^n-1．

点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的求和方法：错位相减法，同时考查直线和相切的条件以及两圆相外切的条件，考查运算能力，属于中档题．