Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=n•a_n=n•2ⁿ-n，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=1+2+2²+…+2^n-1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=n•a_n=n•2ⁿ-n，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n），①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹-2（1+2+3+…+n），②
①-②，得：
-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹+（1+2+3+…+n）
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹+

n(n+1)

2

=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2+

n(n+1)

2

，
∴T_n=(n-1)•2n+1-

n(n+1)

2

+2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和错位相减法的合理运用．